El Gordo de La Primitiva. Probabilidad de Acertar los cinco números.

Los distintos premios del Gordo de La Primitiva, se obtienen de acertar varios números la celda de Pronóstico y la celda de Reintegro que aparecen en el boleto.
Paso a desglosar la probabilidad de obtener dos o más números en la celda del pronóstico:

Probabilidades de acertar los números de la tabla de pronóstico.
Acertar los cinco números del pronóstico.
Cuando comienza el sorteo, tenemos cinco números en el boleto y 54 bolas en el bombo.
Sale la primera bola. La probabilidad de que corresponda a uno de los 5 números del boleto es de 5 entre 54.
Si hemos acertado el primer número, quedan 4 números sin seleccionar y 53 bolas en el bombo.
Sale la segunda bola. La probabilidad de que corresponda a uno de los 4 números del boleto es de 4 entre 53.
Probabilidad combinada de acertar los dos primeros números: (5*4) / (54*53)
Si hemos acertado los dos primeros números, quedan 3 números sin seleccionar y 52 bolas en el bombo.
Sale la tercera bola. La probabilidad de que corresponda a uno de los 3 números del boleto es de 3 entre 52.
Probabilidad combinada de acertar los tres primeros números: (5*4*3) / (54*53*52)
Si hemos acertado los tres primeros números, quedan 2 números sin seleccionar y 51 bolas en el bombo.
Sale la cuarta bola. La probabilidad de que corresponda a uno de los 2 números restantes del boleto es de 2 entre 51.
Probabilidad combinada de acertar los cuatro primeros números: (5*4*3*2) / (54*53*52*51)
Si hemos acertado los cuatro primeros números, queda 1 número sin seleccionar en el boleto. En el bombo, quedan 50 bolas.
Quinta bola. La probabilidad de que corresponda al último número del boleto es de 1 entre 50.
Probabilidad combinada de acertar los cinco números del pronóstico:

(5*4*3*2*1) / (54*53*52*51*50)

Acertar cuatro de los cinco números del pronóstico.
Vamos a ver la probabilidad de acertar los cuatro primeros números y fallar el quinto.
Partimos de la situación en que hemos acertado cuatro números. Esta situación tiene una probabilidad de
          (5*4*3*2) / (54*53*52*51)
Queda 1 número sin seleccionar en el boleto. En el bombo, quedan 50 bolas.
La probabilidad de que la bola no corresponda al número del boleto es de 49/50.
La probabilidad de acertar los cuatro primeros números y fallar el quinto es entonces:

((5*4*3*2) / (54*53*52*51)) * (49/50) = (5*4*3*2*49) / (54*53*52*51*50)

Existen cinco formas de fallar un sólo número. Fallar el primero, fallar el segundo, fallar el tercero, fallar el cuarto y fallar el quinto. La probabilidad total de acertar cuatro números es 5 veces la probabilidad de fallar un sólo número en una posición concreta:

(5*4*3*2*49*5) / (54*53*52*51/50)

Acertar tres de los cinco números del pronóstico.
Vamos a ver la probabilidad de acertar los tres primeros números y fallar cuarto y quinto.
Partimos de la situación en que hemos acertado tres números. Esta situación tiene una probabilidad de
         (5*4*3) / (54*53*52)
Quedan 2 números sin seleccionar en el boleto. En el bombo, quedan 51 bolas.
La probabilidad de que la cuarta bola no corresponda al número del boleto es de 49/51.
La probabilidad de acertar los tres primeros números y fallar el cuarto es entonces:
((5*4*3) / (54*53*52)) * (49/51) = (5*4*3*49) / (54*53*52*51)
Al sacar el quinto número, quedan dos números sin seleccionar en el boleto y 50 bolas en el bombo.
La probabilidad de que la quinta bola no corresponda al número del boleto es de 48/50.
La probabilidad de acertar los tres primeros números y fallar cuarto y quinto es entonces:

((5*4*3*49) / (54*53*52*51)) * (48/50) = (5*4*3*49*48) / (54*53*52*51*50)

Existen diez formas de fallar dos números de 5: 1-2, 1-3, 1-4, 1-5, 2-3, 2-4, 2-5, 3-4, 3-5, 4-5. Todas las formas de fallartienen la misma probabilidad. Con ello, la probabilidad total de acertar tres números es 10 veces la probabilidad de fallar cuarto y quinto:

(5*4*3*49*48* 5*4) / (54*53*52*51*50 * 2*1)

Acertar dos de los cinco números del pronóstico.
Vamos a ver la probabilidad de acertar los dos primeros números y fallar los restantes.
Partimos de la situación en que hemos acertado los dos primeros números. Esta situación tiene una probabilidad de (5*4) / (54*53)
Quedan 3 números sin seleccionar en el boleto. En el bombo, quedan 52 bolas.
La probabilidad de que la tercera bola no corresponda a un número del boleto es de 49/52.
Si se falla la tercera bola, quedan tres números sin seleccionar y 51 bolas en el bombo.
La probabilidad de que la cuarta bola no corresponda a un número del boleto es de 48/51.
Para la última extracción, quedan 50 bolas en el bombo. Tenemos tres números sin marcar en el boleto. La probabilidad de que la quinta bola no corresponda a un número del boleto es de 47/50.
La probabilidad de acertar los dos primeros números y fallar tercero, cuarto y quinto es:cuarto y quinto es entonces:

((5*4) / (54*53)) * (49/52) * (48/51) * (47/50) = (5*4*49*48*47) / (54*53*52*51*50)

Existen diez formas de fallar tres números de cinco: 1-2-3, 1-2-4, 1-2-5, 1-3-4, 1-3-5, 1-4-5, 2-3-4, 2-3-5, 3-4-5. La probabilidad total de acertar dos números es 10 veces la probabilidad de acertar sólo los dos primeros::

(5*4*49*48*47 * 5*4*3) / (54*53*52*51*50 *3*2*1)

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