viernes, 29 de junio de 2007

Bonoloto. Análisis de los últimos premios.

Al igual que hicimos para los premios de la lotería primitiva, presentamos una pequeña estadística de los premios más comunes en la bonoloto, para hacernos una idea de a qué premios podemos aspirar.
Se analizan los resultados de dos períodos. El primer período abarca desde enero de 2006 hasta la primera semana de junio de 2007. El segundo período abarca desde enero de 2010 a julio de 2011.

Premios de 6

En el período analizado entre 2006 y 2007, hubo 110 boletos premiados con 6 aciertos. Se han repartido 119.997.760,79 euros, con esta distribución:

Premio medio: 1.090.888,73 euros
Mayor premio: 7.042.570,46 euros
Menor premio: 158.426,52 euros
Mediana (*) : 803.155,72 euros
En el período entre 2010 y 2011, el número de premios de 6 fue de 145 con 128.688.332,45 euros repartidos:
Premio medio: 877.505,74 euros
Mayor premio: 4.326.963,46 euros
Menor premio: 97.784,25 euros
Mediana : 620.446,88 euros
Premios de 5 y el Complementario
En el período 2006-2007 se repartieron 716 premios a boletos con cinco aciertos y el complementario, con esta distribución:
Premio medio: 78.605,77 euros
Mayor premio: 302.943,61 euros
Menor premio: 13.624,35 euros
Mediana : 63.392,12 euros
En el período analizado de 2010 y 2011, hubo 707 acertantes de cinco aciertos y el complementario, con esta distribución:
Premio medio: 84.910,85 euros
Mayor premio: 290.818,73 euros
Menor premio: 21.644,71 euros
Mediana : 66.561,13 euros

Premios de 5

En 2006 y los primeros cinco meses de 2007, la bonoloto repartió 30.516 premios a boletos con cinco aciertos. La distribución es la siguiente:
Premio medio: 1.322,89 euros
Mayor premio: 6.504,12 euros
Menor premio: 316,70 euros
Mediana : 1.083,00 euros

En el período entre enero de 2010 y julio de 2011, la bonoloto repartió 32.549 premios a boletos con cinco aciertos con la siguiente distribución de premios repartidos:
Premio medio: 1.369,48 euros
Mayor premio: 5.270,33 euros
Menor premio: 400,21 euros
Mediana : 1.091,60 euros

Premios de 4

El número de premios de 4 aciertos en el período analizado 2006-2007 ha sido de 1.668.755. La distribución es la siguiente:
Premio medio: 30,57 euros
Mayor premio: 47,99 euros
Menor premio: 14,91 euros
Mediana : 30,79 euros
El número de premios de 4 aciertos en el período 2010-2011 ha sido de 1.776.116. La distribución es la siguiente:
Premio medio: 31,09 euros
Mayor premio: 44,78 euros
Menor premio: 15,70 euros
Mediana : 31,52 euros

(*) La mediana es el importe situado en el valor medio de los resultados. Ejemplo: si ha habido 1.668.755 premios de 4 aciertos, la mediana es el premio número 1.668.755/2= 834.377 ordenando los premios de menor a mayor.

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jueves, 28 de junio de 2007

Bonoloto. Premios históricos por categoría.

El número de apuestas a la bonoloto es menor que el de apuestas en la lotería primitiva. Además, el importe de los boletos es la mitad del importe de los boletos de primitiva. Esto ha hecho que los premios históricos de bonoloto sean menores que los premios históricos de la primitiva. En cualquier caso, ha habido premios muy importantes. Tan importantes como puedan ser más de 7 millones de euros.

Los mayores premios repartidos en las distintas categorías de la bonoloto hasta junio de 2007, han sido los siguientes.

Mayor premio para un boleto de 6 aciertos.

El 18 de Noviembre de 1990, un boleto fue premiado con algo más de 1200 millones de pesetas (7.219.705,92 euros).  En febrero de 2014, este premio sigue siendo el más alto entregado con la bonoloto.
Mayor premio para un boleto de 5 aciertos y el complementario.
El 12 de Diciembre de 2005, un boleto de cinco aciertos y el complementario, fue premiado con 338.376,30 euros.
786.839,07 euros.
Mayor premio para un boleto de 5 aciertos.
Cada uno de los 17 acertantes de 5 del día 25 de mayo de 1993, ganó 9.121,81 euros.
Mayor premio para un boleto de 4 aciertos.
El 1 de marzo de 1992, los 927 boletos con cuatro aciertos fueron premiados con 77,09 euros.
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Premios tipo que se consiguen en bonoloto.

miércoles, 27 de junio de 2007

Lotería primitiva. Análisis de los últimos premios.

En otra entrada se repasan los máximos premios históricos de la primitiva hasta 2012.
En esta entrada analizamos los premios más comunes en el caso de conseguir cuatro o más aciertos en la Lotería Primitiva.
Para eso, analizamos los resultados de dos franjas temporales:
- La primera cubre desde enero de 2006 hasta la primera semana de junio de 2007.
- La segunda cubre 156 sorteos, desde el 2 de enero de 2010 al 9 de julio de 2011.

Premios de 6

En 2006-2007, ha habido 198 boletos premiados con 6 aciertos. Se han repartido 435.383.039,93 euros, con esta distribución:

Premio medio: 2.198.904,24 euros
Mayor premio: 18.295.589,28 euros
Menor premio: 177.488,34 euros
Mediana (*) : 1.404.021,75 euros
En el período 2010-2011 se contabilizan 228 boletos premiados con 6 aciertos. Se reparten 416.282.289,34 euros, con esta distribución:
Premio medio: 1.825.799,51 euros
Mayor premio: 17.391.290,20 euros
Menor premio: 57.581,10 euros
Mediana : 1.229.305,25 euros
Premios de 5 y el Complementario

En el período de análisis de 2006-2007 se han repartido 1.174 premios a boletos con cinco aciertos y el complementario, con esta distribución:

Premio medio: 55.604,27 euros
Mayor premio: 553.201,04 euros
Menor premio: 13.182,16 euros
Mediana : 45.379,61 euros
En el período 2010-2011 se reparten 1.248 premios a boletos con cinco aciertos y el complementario, con esta distribución:

Premio medio: 49.231,47 euros
Mayor premio: 465.614,20 euros
Menor premio: 3.437,47 euros
Mediana : 41.831,91 euros
Viendo el mayor premio de 5 aciertos y el complementario y el menor de 6 aciertos, vemos que puede darse la circunstancia de ganar tres veces más con 5+C una semana que otra semana con 6 aciertos. No obstante, como caso general, el premio de 6 aciertos es unas 30 veces superior.

Premios de 5

En el período analizado entre 2006 y 2007 se han repartido 47.392 premios a boletos con cinco aciertos. La distribución es la siguiente:

Premio medio: 2.781,37 euros
Mayor premio: 6.511,27 euros
Menor premio: 559,30 euros
Mediana : 2.663,55 euros
En el período analizado entre 2010 y 2011 se han repartido 48.119 premios a boletos con cinco aciertos. La distribución es la siguiente:

Premio medio: 2.575,57 euros
Mayor premio: 6.450,41 euros
Menor premio: 419,80 euros
Mediana : 2.640,50 euros
Premios de 4

El número de premios de 4 aciertos en el período analizado entre 2006 y 2007 ha sido de 2.584.816. La distribución es la siguiente:
Premio medio: 76,22 euros
Mayor premio: 142,23 euros
Menor premio: 31,22 euros
Mediana : 74,31 euros
El número de premios de 4 aciertos en el período analizado entre 2010 y 2011 ha sido de 2.490.081. La distribución es la siguiente:

Premio medio: 74,42 euros
Mayor premio: 128,77 euros
Menor premio: 29,90 euros
Mediana : 75,48 euros
(*) La mediana es el importe situado en el valor medio de los resultados. Ejemplo: si ha habido 198 premios de 6 aciertos, la mediana es el 198/2=99 premio menor. Si ha habido 2.584.816 premios de 4 aciertos, la mediana es el premio número 2.584.816/2= 1.292.408 ordenando los premios de menor a mayor.

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martes, 26 de junio de 2007

Lotería primitiva. Premios históricos por categoría.

Los mayores premios repartidos en las distintas categorías de la lotería primitiva hasta diciembre de 2011, han sido los siguientes.

Mayor premio para un boleto de 6 aciertos.

El 20 de Octubre de 2005, un boleto fue premiado con 24.923.596,30 euros.
Mayor premio para un boleto de 5 aciertos y el complementario.
El 30 de Noviembre de 1989, un boleto de cinco aciertos y el complementario, fue premiado con 786.839,07 euros. (En esa época el premio era aún en pesetas, claro).
Mayor premio para un boleto de 5 aciertos.
Los acertantes de 5 del 3 de junio de 2000, ganaron 25.717,13 euros cada uno.
Mayor premio para un boleto de 4 aciertos.
El 22 de mayo de 2004, los 9706 boletos con cuatro aciertos fueron premiados con 156,94 euros.

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lunes, 25 de junio de 2007

Lotería primitiva. Los premios.

Hemos visto que la probabilidad de toque la primitiva no es muy alentadora. ¿Por qué jugamos entonces? Por la posibilidad de conseguir grandes premios.

A lo largo de los sorteos, la Primitiva ha repartido muchos premios de distintas cuantías. Hasta la fecha (febrero de 2014) diez boletos han ganado premios de más de 15 millones de euros.

El premio más alto hasta hoy para un boleto con 6 aciertos tocó en un pueblo de Málaga.

24.923.596,30 euros
Los afortunados ganadores fueron los miembros de una peña de trabajadores de una empresa de autobuses.

Desde que en noviembre de 2012 se introdujo la categoría especial, en la que se acumulan los premios cuando no ha habido acertantes de 6 o de 6 con el reintegro, es más complicado conseguir el premio máximo. A cambio, los acertantes de categoría especial pueden conseguir premios mayores que los que se conseguían con seis aciertos. A fecha de actualización de esta entrada (febrero de 2014), los tres mayores premios repartidos por la lotería primitiva ascienden a 19 millones de euros, 32 millones de euros y más de 66 millones de euros.

El premio más alto para un boleto con 6 aciertos y el reintegro, de 66.601.719,92 € tocó en Sevilla, en agosto de 2013.

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jueves, 21 de junio de 2007

Bonoloto. ¿Cuál es la probabilidad de que me toque?

Las probabilidades de ganar premio en un sorteo de bonoloto con un boleto sencillo son las mismas que en un sorteo de la lotería primitiva:
De 6, una entre 13983816. De 5 y el complementario, una entre 2330636. De 5, una entre 54201. De 4, una entre 1032. De 3, una entre 57. Y reintegro, una entre 10.


La única diferencia es que la bonoloto no incluye la categoría especial con 6 aciertos y el reintegro.
En otras entradas se detalla cómo se llega a estas probabilidades en el caso de la lotería primitiva.

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miércoles, 20 de junio de 2007

El bonoloto. Premios.

En el bonoloto, se reparten premios con las mismas categorías que la primitiva, salvo la categoría especial.

- 6 Aciertos. Acertar 6 números.
- 5+C. Acertar 5 de los seis números y acertar además el número complementario.
- 5 Aciertos. Acertar 5 de los seis números del sorteo.
- 4 Aciertos. Acertar 4 de los seis números del sorteo.
- 3 Aciertos. Acertar 3 de los seis números del sorteo.

- Reintegro. Coincidir el número de reintegro de nuestro boleto con la bola de reintegro.
Si la apuesta que se ha hecho corresponde a un único día, el reintegro se obtendrá a partir de la bola de reintegro del día.
Si se ha hecho una apuesta para más de un día, el reintegro efectivo es el del último sorteo de la semana. Si por ejemplo hemos apostado una columna a los sorteos de lunes, martes, miércoles y viernes y el número de reintegro de nuestro boleto es el 6, ganaremos el reintegro únicamente en caso de que la bola de reintegro del viernes sea el 6. Las bolas de reintegro de días intermedios valen sólo para los boletos con apuesta para un único día.

¿Cuánto dinero se reparte a cada premio?

El premio es fijo para los reintegros y para los tres aciertos.
- Para el reintegro, el premio es la cantidad jugada. Si el boleto es semanal, el reintegro cubre el importe total de lo jugado para la semana. No sólo un día.
- Para los tres aciertos, el premio son 4 euros.

Para el resto de categorías el premio es variable dependiendo del número de aciertos y la recaudación:

Del total de dinero recaudado por los boletos,
- el 45% va para la administración de lotería y el estado y
- el 10% para reintegros.

Queda un 45% para repartir.
Del 45%, se resta la cantidad necesaria para premiar los boletos de tres aciertos: 4 euros x número de boletos con tres aciertos. Esto supone
- aproximadamente el 14% para los boletos de 3 aciertos.

Queda un total variable a repartir que es aproximadamente el 31% de la recaudación total. Este importe tiene un reparto distinto del de la primitiva. Se reparte así.

- 45% para los acertantes de 6 números
- 24% para los acertantes de 5 números y el complementario
- 12% para los acertantes de 5 números
- 19% para los acertantes de 4 números.

Los acertantes de 4 y 5 números ganan premios casi en la misma proporción que los de la lotería primitiva (con 21% y 13% respectivamente).
Los acertantes de 5 y el complementario de bonoloto se reparten un porcentaje de la recaudación 4 veces superior que los acertantes equivalentes en la primitiva (6% de la recaudación).
Los acertantes de 6 de bonoloto se reparten un 45% del importe para premios descontando la parte de reintegros y tres aciertos. En la primitiva, el reparto es de 40% para acertantes de 6 y 20% para acertantes de 6 y el reintegro.

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martes, 19 de junio de 2007

¿Cuál es la probabilidad de que me toque el sueldo de Nescafé?

En esta entrada hago una estimación del número de participantes en el sorteo de Nescafé.
Esta estimación se basa en información general sobre el consumo de Nescafé en España:
Cada día se consumen en España 6,5 millones de tazas de Nescafé
Cada día se consume un millón de sobrecitos en bares y cafeterías

Esto supone que en un año se consumen 2350 millones de tazas y 365 millones de sobrecitos. Como la promoción admite códigos de barra y pruebas de compra de muy diversos tipos, no sé qué número medio de cajas pueden suponer esas tazas y sobrecitos. Voy a tomar como cifra 40 tazas o sobrecitos para un código de barras. Utilizando ese dato, tenemos que en un año potencialmente se venden:
(2350+365) / 40 = 67,875 millones
de cajas o paquetes de productos Nescafé, cada uno con su código de barras. Como la promoción requiere dos códigos de barras, potencialmente hay suponen
67,875 / 2 = 33,94 millones
de participaciones en el sorteo.

Teniendo en cuenta que muchas personas no están interesadas en el sorteo y que otras muchas no tienen la paciencia de ir guardando los comprobantes de compra a lo largo del año, probablemente la cifra de participaciones será mucho más baja.
Si se envía un 30% de los códigos de barras, tenemos que la probabilidad de que una de nuestras participaciones sea la elegida es de una entre diez millones.

Sorteo en vivo 2013.
El 8 de julio de 2013 se realizó el sorteo correspondiente al Sueldo de Nescafé de 2013. Para dar credibilidad al premio, se ha incluido un vídeo con el proceso de la elección del ganador.

En el vídeo, vemo que las participaciones por carta (aproximadamente la mitad de los participantes totales) cubren una altura de unos 40 centímetros y una superficie de unos 100 metros cuadrados. 
Este volumen, en paquetes de 500 hojas din A4, (30x22x10cm) supone algo más de 3 millones de hojas din A4. Las cartas tienen un tamaño menor pero grosor mayor. Tal vez podríamos calcular unos 2 millones de cartas y un total de 4 millones de participaciones.


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lunes, 18 de junio de 2007

El Bonoloto. Introducción.

El Bonoloto es una versión de la Lotería Primitiva más barata y con más frecuencia de sorteos.

Si en la lotería primitiva se realizan dos sorteos semanales, en el Bonoloto, los sorteos son cuatro. Los días de sorteo son lunes, martes, miércoles y viernes. Como el nombre indica, es posible hacer un bono con las apuestas: jugar con el mismo boleto en todos los sorteos semanales.
El precio de la apuesta es de 50 céntimos, pero precio mínimo del boleto es de un euro. Esto puede conseguirse de dos formas: haciendo más de una apuesta en el boleto o haciendo que el boleto cubra más de un día del sorteo.

La dinámica del juego es igual que la de la primitiva. Las diferencias que encontramos son cuatro:

  • el precio de las apuestas (50 céntimos por apuesta en lugar de un euro), 
  • el número de sorteos semanales, 
  • no existe la categoría especial: se reparten premios a los acertantes de 3, 4, 5, 5 y el complementario y 6 aciertos, pero no hay un premio especial para 6 aciertos y el complementario.
  • la proporción de dinero que va a cada categoría es distinta que en la lotería primitiva.

El primer sorteo se celebró en 1988, con lo que estamos ante un juego con más de 25 años de tradición.

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jueves, 14 de junio de 2007

Bases depositadas ante notario.

En muchos concursos, en la explicación de la mecánica del juego aparece la frase

Bases depositadas ante notario

Esta frase busca garantizar la seriedad del concurso.

Buscando información sobre los concursos de Central Lechera Asturiana y Nescafé, he encontrado que los notarios tienen una base de datos en la que consultar las bases depositadas de una serie de concursos.
Este es un enlace a las bases de concursos.

Actualmente existen más de 8000 bases almacenadas, 250 de las cuales corresponden a sorteos en vigor. No he encontrado concursos equivalentes al de "Esto es la leche" y al "Sueldo para toda la vida", pero puede que alguno de los 250 vigentes sea tan interesante como los mencionados.

Enlaces
       Una casa por diez euros.
       Promociones con premio.

martes, 12 de junio de 2007

Promociones con premio.

Una buena manera que tienen las empresas para atraer la atención y ganar clientes, es hacer regalos. A cambio de comprar sus productos, muchas compañías dan la oportunidad de ganar lotes de productos, viajes, descuentos o incluso premios en metálico.

Existen muchas marcas comerciales que periódicamente ofrecen concursos con premios económicos para los compradores de sus productos. Ejemplos de marcas que han ofrecido premios en metálico en más de una ocasión son Central Lechera Asturiana, Leche Pascual o Nestlé.

Nescafé.
Nescafé, una de las marcas de la compañía Nestlé, tiene un concurso con cierta tradición: "Un sueldo para toda la vida". Para participar (bases en la página de Nestlé), hay que enviar dos pruebas de compra de cualquier producto de Nescafé, con lo que se entra en el sorteo de un sueldo vitalicio de 2000 euros mensuales (con dos pagas extras). El sorteo de este año es en julio, y la fecha límite para la recepción de cartas es el 30 de junio.

Enlaces
Indice > Juegos > Otros juegos y sorteos
Una rifa de una casa
Probabilidad de ganar el sueldo de Nescafé
Bases depositadas ante notario.

lunes, 11 de junio de 2007

Probabilidad de ganar dinero en la primitiva jugando una columna por sorteo durante un año.

Un año tiene 52 semanas, durante las que se celebran 104 sorteos de lotería primitiva.

Si jugamos una columna por sorteo en todos los sorteos del año, habremos apostado 104 euros. A los largo de los 104 sorteos, nos tocará varias veces el reintegro, y en alguna ocasión, acertaremos tres números.

Para ganar más o menos lo mismo que hemos apostado, deberíamos conseguir al menos un premio de cuatro aciertos.
Para tener un saldo positivo en el año, deberíamos conseguir al menos dos premios de cuatro aciertos o bien un premio de cinco aciertos.

Probabilidad de ganar al menos un premio de 4 aciertos a lo largo de un año.

La probabilidad de ganar al menos 4 aciertos en un sorteo es la probabilidad de ganar 4, 5 ó 6 aciertos (la probabilidad de 5 y el complementario entra dentro de las probabilidades de 5).

1/1032,4 + 1/54200,84 + 1/13983816 = 0,000987138

De modo que la probabilidad de no ganar al menos cuatro aciertos en un sorteo es de
1 - 0,000987138 = 0,999012861

La probabilidad de no ganar un premio de 4 aciertos a lo largo del año, es igual a la probabilidad de no ganarlo el primer sorteo, por la probabilidad de no ganarlo el segundo sorteo, ..., por la probabilidad de no ganarlo en el sorteo 104:
0,999012861 ^104 = 0,902385849

Siendo la probabilidad de ganar, igual a
1 - 0,902385849 = 0,09761415088

Es decir: tenemos un 9,76% de probabilidades de tener un premio de 4 aciertos si jugamos una columna durante un año.

Probabilidad de ganar más de un premio de 4 aciertos a lo largo de un año.

La probabilidad de ganar dos premios de cuatro aciertos en un año, es igual a la probabilidad de ganar dos premios de cuatro aciertos en dos sorteos, por el número de parejas de sorteos posibles a lo largo del año.

Probabilidad de acertar cuatro números en dos sorteos es:
1/1032,4^2 = 1/ 1065849,76
Posibles forma de acertar dos sorteos en un año: (104*103) / (2*1)
Probabilidad de acertar cuatro números en dos sorteos durante un año:
(104*103) / (2*1*1065849,76) = 1 / 199,001

Siguiendo el mismo patrón, la probabilidad de ganar tres premios de cuatro aciertos en un año, es:
Probabilidad de acertar cuatro números en tres sorteos es: 1/1032,4^3
Posibles forma de acertar tres sorteos en un año: (104*103*102) / (3*2*1)
Probabilidad de acertar cuatro números en tres sorteos durante un año:
(104*103*102) / (3*2*1*1032,4^3) = 1 / 6042,6091

La probabilidad de ganar cuatro premios de cuatro aciertos en un año es:
1 / 247064,9371

Y la probabilidad de ganar cinco premio de cuatro aciertos en un año, es:
1 / 12753492,0539

En resumen, la probabilidad de ganar acertar más de una vez cuatro números a lo largo de un año es algo mayor que
1 / 199,001 + 1 / 6042,6091 + 1 / 247064,9371 + 1 /
12753492,0539 = 1 / 192,5033

Aproximadamente un 2 por mil de posibilidades.


Probabilidad de ganar al menos un premio de 5 aciertos a lo largo de un año.

La probabilidad de ganar al menos 5 aciertos en un sorteo es
1 / 53991,56757 = 0,0000185214

De modo que la probabilidad de no ganar al menos cinco aciertos en un sorteo es de
1 - 0,0000185214 = 0,999981479

La probabilidad de no ganar un premio de 5 aciertos a lo largo del año, es igual a la probabilidad de no ganarlo el primer sorteo, por la probabilidad de no ganarlo el segundo sorteo, ..., por la probabilidad de no ganarlo en el sorteo 104:
0,999981479 ^104 = 0,998075609

Siendo la probabilidad de ganar, igual a
1 - 0,998075609 = 0,001924391

Es decir: tenemos un 0,19% de probabilidades de tener un premio de 5 aciertos si jugamos una columna durante un año.

En resumen.

Si jugamos a 104 sorteos en un año (104 euros de gasto), necesitamos acertar cuatro aciertos al menos dos veces (2 por mil de probabilidades), cinco aciertos al menos una vez (2 por mil de probabilidades) o conseguir un premio superior (menos de un 1 por mil de probabilidades) para ganar más de 104 euros. La suma de las distintas probabilidades es de alrededor de 4/1000 o el 0,4%.

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viernes, 8 de junio de 2007

Probabilidad de acertar tres números en la primitiva.

Según hemos visto en los desarrollos de las probabilidades de acertar 5 números y acertar 4 números, la probabilidad de acertar tres números es igual a la probabilidad de acertar tres números en una posición concreta, multiplicada por el número de posiciones distintas en las que se pueden encontrar estos tres números.
Vamos a ver la probabilidad de acertar los tres primeros números y fallar los tres últimos.

Probabilidad de acertar los tres primeros números y fallar los otros tres.
Tres primeros números. Según se vio en la probabilidad de acertar cuatro números, la probabilidad de acertar los tres primeros números es

(6*5*4 / 49*48*47)

Cuarto número. En el bombo quedan 46 bolas. Como hemos acertado tres números del boleto, quedan 3 sin marcar. La probabilidad de fallar la cuarta bola es la probabilidad de que el número extraido del bombo no sea ninguno de los tres que quedan en el boleto: 43/46. La probabilidad combinada de acertar las tres primeras bolas y fallar la cuarta, queda
(43/46) * (6*5*4 / 49*48*47) = (6*5*4*43 / 49*48*47*46)

Quinto número. En el bombo quedan 45 bolas. Como hemos acertado tres números del boleto, quedan 3 sin marcar. La probabilidad de que el número extraido del bombo no sea ninguno de los tres que quedan en el boleto es de: 42/45. La probabilidad combinada de acertar las tres primeras bolas y fallar cuarta y quinta, queda
(42/45) * (6*5*4*43 / 49*48*47*46) = (6*5*4*43*42 / 49*48*47*46*45)

Sexto número. En el bombo quedan 44 bolas. Como hemos acertado tres números del boleto, quedan 3 sin marcar. La probabilidad de fallar la sexta bola es de 41/44. La probabilidad combinada de acertar las tres primeras bolas y fallar las tres últimas,
(41/44) * (6*5*4*43*42 / 49*48*47*46*45) = (6*5*4*43*42*41 / 49*48*47*46*45*44)

El número de posibilidades de acertar tres números viene dado por las posiciones que pueden tener estos triples aciertos (1-2-3, 1-2-4, 1-2-5, ... , 3-4-6, 3-5-6, 4-5-6). Matemáticamente estas posibilidades se definen como las combinaciones de 6 elementos tomados de 3 en 3.
C63 = 6*5*4 / 3*2*1 = 20

La probabilidad total de obtener tres aciertos es veinte veces veces la probabilidad de obtener tres aciertos en una posición concreta:

En resumen:
(6*5*4*43*42*41*20 / 49*48*47*46*45*44) = 1 entre 56,66


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Lotería primitiva. Probabilidad de acertar 4 números.

Acertar cuatro números de la primitiva es igual que fallar dos números de los seis. Estos dos fallos pueden producirse en distintas posiciones: primera y segunda, primera y tercera, primera y cuarta, ... , segunda y tercera, ..., cuarta y sexta, quinta y sexta.

Vamos a ver dos de las posibilidades: fallar el primero y el sexto número, acertando los intermedios, y fallar los dos últimos números.

Probabilidad de acertar 2º, 3º, 4º y 5º número, fallando el primero y el sexto.
Partimos de un bombo con 49 bolas numeradas y un boleto con seis números pronosticados.
Primer número. Al sacar la primera bola del bombo, existen 6 posibilidades entre 49 de que corresponda a uno de los números del boleto. O lo que es lo mismo, existen 43 posibilidades entre 49 de que no corresponda. La probabilidad de fallo es de 43 / 49.
Segundo número. Habiendo fallado el primer número, quedan 48 bolas en el bombo y 6 números en el boleto. La probabilidad de que la segunda bola corresponda con un número en el boleto es de 6/48. La probabilidad de fallar el primer número y acertar el segundo es de

(43/49) * (6/48) = (43*6 / 49*48)

Tercer número. En el bombo quedan 47 bolas. Como hemos acertado un número del boleto, quedan 5 sin marcar. La probabilidad de que la tercera bola corresponda con un número en el boleto es de 5/47. La probabilidad de fallar el primer número y acertar segundo y tercero, queda
(5/47) * (43*6 / 49*48) = (43*6*5 / 49*48*47)

Cuarto número. En el bombo quedan 46 bolas. Como hemos acertado dos números del boleto, quedan 4 sin marcar. La probabilidad de acertar la cuarta bola es 4/46. La probabilidad combinada de fallar el primer número y acertar segundo, tercero y cuarto, queda
(4/46) * (43*6*5 / 49*48*47) = (43*6*5*4 / 49*48*47*46)

Quinto número. En el bombo quedan 45 bolas. Hemos acertado tres números del boleto, por lo que quedan 3 sin marcar. La probabilidad de acertar la quinta bola es de 3/45. La probabilidad combinada de fallar el primer número y acertar segundo, tercero, cuarto y quinto, queda
(3/45) * (43*6*5*4 / 49*48*47*46) = (43*6*5*4*3 / 49*48*47*46*45)

Sexto número. En el bombo quedan 44 bolas. Como hemos acertado cuatro números del boleto, quedan 2 sin marcar. En este caso, queremos ver la probabilidad de no acertar la última bola. Esta probabilidad viene dada por las bolas que quedan en el bombo que no corresponden a las dos que quedan en el boleto: 42/44. La probabilidad combinada de fallar el primer y sexto números y acertar los cuatro intermedios, queda
(42/44) * (43*6*5*4*3 / 49*48*47*46*45) = (43*6*5*4*3*42 / 49*48*47*46*45*44) = (43*42*6*5*4*3 / 49*48*47*46*45*44)
Probabilidad de acertar los cuatro primeros números, fallando los dos últimos.
Partimos de un bombo con 49 bolas numeradas y un boleto con seis números pronosticados.
Primer número. Al sacar la primera bola del bombo, existen 6 posibilidades entre 49 de que corresponda a uno de los números del boleto. La probabilidad de acierto es de
6 / 49

Segundo número. Habiendo acertado el primer número, quedan 48 bolas en el bombo y 5 números sin marcar en el boleto. La probabilidad de que la segunda bola corresponda con un número en el boleto es de 5/48. La probabilidad de acertar los dos primeros números es de
(6/49) * (5/48) = (6*5 / 49*48)

Tercer número. En el bombo quedan 47 bolas. Como hemos acertado dos números del boleto, quedan 4 sin marcar. La probabilidad de que la tercera bola corresponda con un número en el boleto es de 4/47. La probabilidad de acertar los tres primeros números queda
(4/47) * (6*5 / 49*48) = (6*5*4 / 49*48*47)

Cuarto número. En el bombo quedan 46 bolas. Como hemos acertado tres números del boleto, quedan 3 sin marcar. La probabilidad de acertar la cuarta bola es 3/46. La probabilidad combinada acertar las cuatro primeras bolas del sorteo, queda
(3/46) * (6*5*4 / 49*48*47). = (6*5*4*3 / 49*48*47*46)

Quinto número. En el bombo quedan 45 bolas. En el boleto, quedan 2 números sin marcar. Queremos saber la probabilidad de fallar la quinta bola, que es la probabilidad de que el número extraido del bombo no sea ninguno de los dos que quedan en el boleto: 43/45. La probabilidad combinada acertar las cuatro primeras bolas del sorteo y fallar la quinta, queda (43/45) * (6*5*4*3 / 49*48*47*46) = (6*5*4*3*43 / 49*48*47*46*45).

Sexto número. En el bombo quedan 44 bolas. En el boleto, siguen quedando 2 números sin marcar. La probabilidad de fallar la sexta bola es 42/44. La probabilidad combinada acertar las cuatro primeras bolas del sorteo y fallar las dos últimas, queda
(42/44) * (6*5*4*3*43 / 49*48*47*46*45) = (6*5*4*3*43*42 / 49*48*47*46*45*44) = (43*42*6*5*4*3 / 49*48*47*46*45*44)

Vemos, que existen las mismas probabilidades de acertar los cuatro primeros números y acertar segundo, tercero, cuarto y quinto. La probabilidad de acertar cuatro números es la misma independientemente del orden de extracción al que correspondan los números acertados.
El número de posibilidades de fallar dos números viene dado por las posiciones que pueden tener los fallos (1-2, 1-3, 1-4, 1-5, 1-6, 2-3, 2-4, 2-5, 2-6, 3-4, 3-5, 3-6, 4-5, 4-6 , 5-6). Matemáticamente estas posibilidades se definen como las combinaciones de 6 elementos tomadas de 2 en 2. C62 = 6*5 / 2*1 = 15.
La probabilidad total de obtener cuatro aciertos es quince veces la probabilidad de obtener cuatro aciertos aciertos fallando en dos posiciones concretas:
En resumen:
(43*42*6*5*4*3*15 / 49*48*47*46*45*44) = 1 entre 1032,40


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miércoles, 6 de junio de 2007

Lotería primitiva. Probabilidad de acertar 5 y el complementario.

El número complementario, da la oportunidad de incrementar el premio a los acertantes de 5. Podría verse como una consolación para quienes han tenido cinco aciertos pero no han sacado seis. Una oportunidad más de acertar un sexto número. En cualquier caso, esa visión sería la de un pesimista, porque ya hemos visto que no es fácil acertar cinco.

Partimos de la probabilidad de acertar cinco números, (6*5*4*3*2*43*6) / (49*48*47*46*45*44). En el sorteo, se habrán sacado ya seis números, con lo que en el bombo quedan 43 números por sacar. En el boleto hay marcados cinco números (los aciertos) y queda uno sin asignar.
Se saca el número complementario. La probabilidad de que coincida con el número que tenemos pendiente en el boleto, es de 1 / 43.

La probabilidad de acertar cinco y el complementario, es entonces de ( (6*5*4*3*2*43*6) / (49*48*47*46*45*44) ) * (1 / 43) = (6*5*4*3*2*43*6) / (49*48*47*46*45*44*43) = 1 entre 2330636

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martes, 5 de junio de 2007

Lotería primitiva. Probabilidad de acertar 5 números.

¿Cómo podemos acertar cinco números en la primitiva? Acertando todos menos el primero, o bien acertando todos menos el segundo, o todos menos el tercero, o todos menos el cuarto, o todos menos el quinto, o todos menos el sexto.
En resumen: para tener cinco aciertos en la primitiva, tenemos que acertar todos los números menos uno, y hay seis formas de no acertar un número.
Vamos a analizar cómo se pueden acertar todos los números menos el quinto y cómo se pueden acertar todos los números menos el sexto.

Acertar todos los números menos el quinto.
Según vimos en el desarrollo de la probabilidad de acertar seis números a la primitiva, la probabilidad de acertar los cuatro primeros es la siguiente:

(6/ 49) * (5 / 48) * (4 / 47) * (3 / 46) = (6*5*4*3) / (49*48*47*46)
Cuando se saca el quinto número, quedan dos números en el boleto y 45 bolas en el bombo. La probabilidad de no acertar el quinto número es igual a 43 / 45
De momento llegamos a que la probabilidad de acertar los cuatro primeros números y fallar el quinto es
(6/ 49) * (5 / 48) * (4 / 47) * (3 / 46) * (43/45) = (6*5*4*3*43) / (49*48*47*46*45)
Nos queda, acertar el sexto número.
Cuando se saca el sexto número, nos quedan dos números sin marcar en el boleto (los mismos que había antes d sacar el quinto número), y 44 bolas en el bombo. La probabilidad de acertar el sexto es la probabilidad de que la bola seleccionada tenga uno de los dos números: 2 / 44
La probabilidad de acertar todos los números menos el quinto, queda entonces
(6/ 49) * (5 / 48) * (4 / 47) * (3 / 46) * (43/45) * (2/44) = (6*5*4*3*2*43) / (49*48*47*46*45*44)
Acertar todos los números menos el sexto.
Según vimos en el desarrollo de la probabilidad de acertar seis números a la primitiva, la probabilidad de acertar los cinco primeros números es
(6/ 49) * (5 / 48) * (4 / 47) * (3 / 46) * (2 / 45) = (6*5*4*3*2) / (49*48*47*46*45)
Cuando se saca el sexto número, quedan un número en el boleto y 44 bolas en el bombo. La probabilidad de no acertar el sexto número es igual a 43 / 44
De este modo, la probabilidad de acertar los cinco primeros números y fallar el sexto es:
(6/ 49) * (5 / 48) * (4 / 47) * (3 / 46) * (2 / 45) * (43 / 44) = (6*5*4*3*2*43) / (49*48*47*46*45*44)
Vemos, que existen las mismas probabilidades de acertar todos los números menos el quinto y acertar todos los números menos el sexto. Se puede verificar que la probabilidad de acertar todos los números menos uno es la misma, independientemente de cuál sea el número que no se acierte. Existen seis posibles formas de fallar en un sólo número (fallar el primero, fallar el segundo, fallar el tercero, fallar el cuarto, fallar el quinto y fallar el sexto), de modo que la probabilidad total de obtener cinco aciertos es seis veces la probabilidad de obtener cinco aciertos fallando en una posición concreta.
En resumen:
(6/ 49) * (5 / 48) * (4 / 47) * (3 / 46) * (2 / 45) * (43 / 44) * 6 = (6*5*4*3*2*43*6) / (49*48*47*46*45*44) = 1 entre 54200,84
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viernes, 1 de junio de 2007

Lotería primitiva. Probabilidad de acertar 6 números.

Matemáticamente, la probabilidad de que se acierten los seis números de la primitiva, es un problema simple de combinatoria. El número de posibilidades distintas a la hora de tomar seis números de un bombo de cuarenta y nueve, sin tener en cuenta el orden se define con la fórmula de Combinaciones de 49 elementos tomados de 6 en 6.

El desarrollo matemático de esta fórmula es:

C496 = 49! / ( 6! * (49-6)! ) =
49 * 48 * 47 * 46 * 45 * 44 / ( 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)
Esto puede explicarse desarrollando paso a paso las posibilidades de acertar cada uno de los números del bombo.
Queremos saber qué probabilidades tenemos de acertar los seis números que se seleccionan de entre los cuarenta y nueve del bombo. Acertar seis números supone acertar el primero, el segundo, el tercero, el cuarto, el quinto y el sexto número que se seleccionen.

Primer número.
Al principio del sorteo, en el bombo hay 49 números. En el boleto tenemos seleccionados seis. Sale un número del bombo. Tenemos seis probabilidades (tantas como números seleccionados) entre 49 (tantas como bolas hay en el bombo) de acertar.
Probabilidad de acertar el primer número: 6 / 49
Segundo número.
Si hemos acertado el primer número, en nuestro boleto quedan cinco números sin asignar. En el bombo, quedan 48 bolas, puesto que hemos sacado ya la primera. Sale la segunda bola del bombo. En este caso, tenemos cinco probabilidades entre 48 de acertar el segundo número.
Probabilidad de acertar el segundo número habiendo acertado el primero: 5 / 48
Probabilidad de acertar los dos primeros números: (6/ 49) * (5 / 48) = (6*5) / (49*48)
Tercer número.
Si hemos acertado los dos primeros números, en nuestro boleto quedan cuatro números sin asignar. En el bombo, quedan 47 bolas. Cuando sale la tercera bola del bombo, tenemos cuatro probabilidades entre 47 de acertar el tercer número.
Probabilidad de acertar el tercer número habiendo acertado los dos primeros: 4 / 47
Probabilidad de acertar los tres primeros números: (6/ 49) * (5 / 48) * (4 / 47) = (6*5*4) / (49*48*47)
Habiendo visto el proceso para calcular la probabilidad de acertar los tres primeros números, los siguientes son fáciles de calcular.

Cuarto número.
Si hemos acertado los tres primeros números, en nuestro boleto quedan tres números sin asignar. En el bombo, quedan 46 bolas. Cuando sale la cuarta bola del bombo, tenemos tres probabilidades entre 46 de acertar el cuarto número.
Probabilidad de acertar el cuarto número habiendo acertado los tres primeros: 3 / 46
Probabilidad de acertar los cuatro primeros números: (6/ 49) * (5 / 48) * (4 / 47) * (3 / 46) = (6*5*4*3) / (49*48*47*46)
Quinto número.
Habiendo acertado los cuatro primeros números, en nuestro boleto quedan dos números sin asignar. En el bombo, quedan 45 bolas. Cuando sale la quinta bola del bombo, tenemos dos probabilidades entre 45 de acertar el quinto número.
Probabilidad de acertar el quinto número habiendo acertado los cuatro primeros: 2 / 45
Probabilidad de acertar los cinco primeros números: (6/ 49) * (5 / 48) * (4 / 47) * (3 / 46) * (2 / 45) = (6*5*4*3*2) / (49*48*47*46*45)
Sexto número.
Si hemos acertado los cinco primeros números, en nuestro boleto quedará únicamente un número sin asignar de los seis iniciales. En el bombo, quedan 44 bolas. Cuando sale la sexta bola del bombo, tenemos una probabilidad entre 44 de que coincida con nuestro número.
Probabilidad de acertar el sexto número habiendo acertado los cinco primeros: 1 / 44
Probabilidad de acertar los seis números de la primitiva: (6/ 49) * (5 / 48) * (4 / 47) * (3 / 46) * (2 / 45) * (1 / 44) = (6*5*4*3*2*1) / (49*48*47*46*45*44) = 1 entre 13983816
El reintegro.
Una vez acertados seis números, tendrán premio de categoría especial los boletos en los que además coincida el reintegro. Es decir: además de los seis números ya desarrollados, el reintegro, que es un número entre el 0 y el 9, debe coincidir. La probabilidad de acertar 6+R es entonces la probabilidad de acertar 6 junto con la probabilidad de acertar el reintegro.
Probabilidad de acertar seis: una entre 13983816.
Probabilidad de acertar el reintegro: una entre 10.
Probabilidad de acertar seis y el reintegro: una entre 13983816 * 10 = 1 entre 139.838.160

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