Promociones con premio.

Una buena manera que tienen las empresas para atraer la atención y ganar clientes, es hacer regalos. A cambio de comprar sus productos, muchas compañías dan la oportunidad de ganar lotes de productos, viajes, descuentos o incluso premios en metálico.

Existen muchas marcas comerciales que periódicamente ofrecen concursos con premios económicos para los compradores de sus productos. Ejemplos de marcas que han ofrecido premios en metálico en más de una ocasión son Central Lechera Asturiana, Leche Pascual o Nestlé.

Nescafé.
Nescafé, una de las marcas de la compañía Nestlé, tiene un concurso con cierta tradición: "Un sueldo para toda la vida". Para participar (bases en la página de Nestlé), hay que enviar dos pruebas de compra de cualquier producto de Nescafé, con lo que se entra en el sorteo de un sueldo vitalicio de 2000 euros mensuales (con dos pagas extras). El sorteo de este año es en julio, y la fecha límite para la recepción de cartas es el 30 de junio.

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Una rifa de una casa
Probabilidad de ganar el sueldo de Nescafé
Bases depositadas ante notario.

Probabilidad de ganar dinero en la primitiva jugando una columna por sorteo durante un año.

Un año tiene 52 semanas, durante las que se celebran 104 sorteos de lotería primitiva.

Si jugamos una columna por sorteo en todos los sorteos del año, habremos apostado 104 euros. A los largo de los 104 sorteos, nos tocará varias veces el reintegro, y en alguna ocasión, acertaremos tres números.

Para ganar más o menos lo mismo que hemos apostado, deberíamos conseguir al menos un premio de cuatro aciertos.
Para tener un saldo positivo en el año, deberíamos conseguir al menos dos premios de cuatro aciertos o bien un premio de cinco aciertos.

Probabilidad de ganar al menos un premio de 4 aciertos a lo largo de un año.

La probabilidad de ganar al menos 4 aciertos en un sorteo es la probabilidad de ganar 4, 5 ó 6 aciertos (la probabilidad de 5 y el complementario entra dentro de las probabilidades de 5).

1/1032,4 + 1/54200,84 + 1/13983816 = 0,000987138

De modo que la probabilidad de no ganar al menos cuatro aciertos en un sorteo es de

1 - 0,000987138 = 0,999012861

La probabilidad de no ganar un premio de 4 aciertos a lo largo del año, es igual a la probabilidad de no ganarlo el primer sorteo, por la probabilidad de no ganarlo el segundo sorteo, ..., por la probabilidad de no ganarlo en el sorteo 104:

0,999012861 ^104 = 0,902385849

Siendo la probabilidad de ganar, igual a

1 - 0,902385849 = 0,09761415088

Es decir: tenemos un 9,76% de probabilidades de tener un premio de 4 aciertos si jugamos una columna durante un año.

Probabilidad de ganar más de un premio de 4 aciertos a lo largo de un año.

La probabilidad de ganar dos premios de cuatro aciertos en un año, es igual a la probabilidad de ganar dos premios de cuatro aciertos en dos sorteos, por el número de parejas de sorteos posibles a lo largo del año.

Probabilidad de acertar cuatro números en dos sorteos es:
1/1032,4^2 = 1/ 1065849,76
Posibles forma de acertar dos sorteos en un año: (104*103) / (2*1)
Probabilidad de acertar cuatro números en dos sorteos durante un año:

(104*103) / (2*1*1065849,76) = 1 / 199,001

Siguiendo el mismo patrón, la probabilidad de ganar tres premios de cuatro aciertos en un año, es:
Probabilidad de acertar cuatro números en tres sorteos es: 1/1032,4^3
Posibles forma de acertar tres sorteos en un año: (104*103*102) / (3*2*1)
Probabilidad de acertar cuatro números en tres sorteos durante un año:

(104*103*102) / (3*2*1*1032,4^3) = 1 / 6042,6091

La probabilidad de ganar cuatro premios de cuatro aciertos en un año es:

1 / 247064,9371

Y la probabilidad de ganar cinco premio de cuatro aciertos en un año, es:

1 / 12753492,0539

En resumen, la probabilidad de ganar acertar más de una vez cuatro números a lo largo de un año es algo mayor que

1 / 199,001 + 1 / 6042,6091 + 1 / 247064,9371 + 1 /
12753492,0539 = 1 / 192,5033

Aproximadamente un 2 por mil de posibilidades.


Probabilidad de ganar al menos un premio de 5 aciertos a lo largo de un año.

La probabilidad de ganar al menos 5 aciertos en un sorteo es

1 / 53991,56757 = 0,0000185214

De modo que la probabilidad de no ganar al menos cinco aciertos en un sorteo es de

1 - 0,0000185214 = 0,999981479

La probabilidad de no ganar un premio de 5 aciertos a lo largo del año, es igual a la probabilidad de no ganarlo el primer sorteo, por la probabilidad de no ganarlo el segundo sorteo, ..., por la probabilidad de no ganarlo en el sorteo 104:

0,999981479 ^104 = 0,998075609

Siendo la probabilidad de ganar, igual a

1 - 0,998075609 = 0,001924391

Es decir: tenemos un 0,19% de probabilidades de tener un premio de 5 aciertos si jugamos una columna durante un año.

En resumen.

Si jugamos a 104 sorteos en un año (104 euros de gasto), necesitamos acertar cuatro aciertos al menos dos veces (2 por mil de probabilidades), cinco aciertos al menos una vez (2 por mil de probabilidades) o conseguir un premio superior (menos de un 1 por mil de probabilidades) para ganar más de 104 euros. La suma de las distintas probabilidades es de alrededor de 4/1000 o el 0,4%.

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Probabilidad de acertar tres números en la primitiva.

Según hemos visto en los desarrollos de las probabilidades de acertar 5 números y acertar 4 números, la probabilidad de acertar tres números es igual a la probabilidad de acertar tres números en una posición concreta, multiplicada por el número de posiciones distintas en las que se pueden encontrar estos tres números.
Vamos a ver la probabilidad de acertar los tres primeros números y fallar los tres últimos.

Probabilidad de acertar los tres primeros números y fallar los otros tres.
Tres primeros números. Según se vio en la probabilidad de acertar cuatro números, la probabilidad de acertar los tres primeros números es

(6*5*4 / 49*48*47)

Cuarto número. En el bombo quedan 46 bolas. Como hemos acertado tres números del boleto, quedan 3 sin marcar. La probabilidad de fallar la cuarta bola es la probabilidad de que el número extraido del bombo no sea ninguno de los tres que quedan en el boleto: 43/46. La probabilidad combinada de acertar las tres primeras bolas y fallar la cuarta, queda

(43/46) * (6*5*4 / 49*48*47) = (6*5*4*43 / 49*48*47*46)

Quinto número. En el bombo quedan 45 bolas. Como hemos acertado tres números del boleto, quedan 3 sin marcar. La probabilidad de que el número extraido del bombo no sea ninguno de los tres que quedan en el boleto es de: 42/45. La probabilidad combinada de acertar las tres primeras bolas y fallar cuarta y quinta, queda

(42/45) * (6*5*4*43 / 49*48*47*46) = (6*5*4*43*42 / 49*48*47*46*45)

Sexto número. En el bombo quedan 44 bolas. Como hemos acertado tres números del boleto, quedan 3 sin marcar. La probabilidad de fallar la sexta bola es de 41/44. La probabilidad combinada de acertar las tres primeras bolas y fallar las tres últimas,

(41/44) * (6*5*4*43*42 / 49*48*47*46*45) = (6*5*4*43*42*41 / 49*48*47*46*45*44)

El número de posibilidades de acertar tres números viene dado por las posiciones que pueden tener estos triples aciertos (1-2-3, 1-2-4, 1-2-5, ... , 3-4-6, 3-5-6, 4-5-6). Matemáticamente estas posibilidades se definen como las combinaciones de 6 elementos tomados de 3 en 3.

C⁶₃ = 6*5*4 / 3*2*1 = 20

La probabilidad total de obtener tres aciertos es veinte veces veces la probabilidad de obtener tres aciertos en una posición concreta:

En resumen:

(6*5*4*43*42*41*20 / 49*48*47*46*45*44) = 1 entre 56,66

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Probabilidad de acertar 4

Lotería primitiva. Probabilidad de acertar 4 números.

Acertar cuatro números de la primitiva es igual que fallar dos números de los seis. Estos dos fallos pueden producirse en distintas posiciones: primera y segunda, primera y tercera, primera y cuarta, ... , segunda y tercera, ..., cuarta y sexta, quinta y sexta.

Vamos a ver dos de las posibilidades: fallar el primero y el sexto número, acertando los intermedios, y fallar los dos últimos números.

Probabilidad de acertar 2º, 3º, 4º y 5º número, fallando el primero y el sexto.
Partimos de un bombo con 49 bolas numeradas y un boleto con seis números pronosticados.
Primer número. Al sacar la primera bola del bombo, existen 6 posibilidades entre 49 de que corresponda a uno de los números del boleto. O lo que es lo mismo, existen 43 posibilidades entre 49 de que no corresponda. La probabilidad de fallo es de 43 / 49.
Segundo número. Habiendo fallado el primer número, quedan 48 bolas en el bombo y 6 números en el boleto. La probabilidad de que la segunda bola corresponda con un número en el boleto es de 6/48. La probabilidad de fallar el primer número y acertar el segundo es de

(43/49) * (6/48) = (43*6 / 49*48)

Tercer número. En el bombo quedan 47 bolas. Como hemos acertado un número del boleto, quedan 5 sin marcar. La probabilidad de que la tercera bola corresponda con un número en el boleto es de 5/47. La probabilidad de fallar el primer número y acertar segundo y tercero, queda

(5/47) * (43*6 / 49*48) = (43*6*5 / 49*48*47)

Cuarto número. En el bombo quedan 46 bolas. Como hemos acertado dos números del boleto, quedan 4 sin marcar. La probabilidad de acertar la cuarta bola es 4/46. La probabilidad combinada de fallar el primer número y acertar segundo, tercero y cuarto, queda

(4/46) * (43*6*5 / 49*48*47) = (43*6*5*4 / 49*48*47*46)

Quinto número. En el bombo quedan 45 bolas. Hemos acertado tres números del boleto, por lo que quedan 3 sin marcar. La probabilidad de acertar la quinta bola es de 3/45. La probabilidad combinada de fallar el primer número y acertar segundo, tercero, cuarto y quinto, queda

(3/45) * (43*6*5*4 / 49*48*47*46) = (43*6*5*4*3 / 49*48*47*46*45)

Sexto número. En el bombo quedan 44 bolas. Como hemos acertado cuatro números del boleto, quedan 2 sin marcar. En este caso, queremos ver la probabilidad de no acertar la última bola. Esta probabilidad viene dada por las bolas que quedan en el bombo que no corresponden a las dos que quedan en el boleto: 42/44. La probabilidad combinada de fallar el primer y sexto números y acertar los cuatro intermedios, queda

(42/44) * (43*6*5*4*3 / 49*48*47*46*45) = (43*6*5*4*3*42 / 49*48*47*46*45*44) = (43*42*6*5*4*3 / 49*48*47*46*45*44)

Probabilidad de acertar los cuatro primeros números, fallando los dos últimos.
Partimos de un bombo con 49 bolas numeradas y un boleto con seis números pronosticados.
Primer número. Al sacar la primera bola del bombo, existen 6 posibilidades entre 49 de que corresponda a uno de los números del boleto. La probabilidad de acierto es de

6 / 49

Segundo número. Habiendo acertado el primer número, quedan 48 bolas en el bombo y 5 números sin marcar en el boleto. La probabilidad de que la segunda bola corresponda con un número en el boleto es de 5/48. La probabilidad de acertar los dos primeros números es de

(6/49) * (5/48) = (6*5 / 49*48)

Tercer número. En el bombo quedan 47 bolas. Como hemos acertado dos números del boleto, quedan 4 sin marcar. La probabilidad de que la tercera bola corresponda con un número en el boleto es de 4/47. La probabilidad de acertar los tres primeros números queda

(4/47) * (6*5 / 49*48) = (6*5*4 / 49*48*47)

Cuarto número. En el bombo quedan 46 bolas. Como hemos acertado tres números del boleto, quedan 3 sin marcar. La probabilidad de acertar la cuarta bola es 3/46. La probabilidad combinada acertar las cuatro primeras bolas del sorteo, queda

(3/46) * (6*5*4 / 49*48*47). = (6*5*4*3 / 49*48*47*46)

Quinto número. En el bombo quedan 45 bolas. En el boleto, quedan 2 números sin marcar. Queremos saber la probabilidad de fallar la quinta bola, que es la probabilidad de que el número extraido del bombo no sea ninguno de los dos que quedan en el boleto: 43/45. La probabilidad combinada acertar las cuatro primeras bolas del sorteo y fallar la quinta, queda (43/45) * (6*5*4*3 / 49*48*47*46) = (6*5*4*3*43 / 49*48*47*46*45).

Sexto número. En el bombo quedan 44 bolas. En el boleto, siguen quedando 2 números sin marcar. La probabilidad de fallar la sexta bola es 42/44. La probabilidad combinada acertar las cuatro primeras bolas del sorteo y fallar las dos últimas, queda

(42/44) * (6*5*4*3*43 / 49*48*47*46*45) = (6*5*4*3*43*42 / 49*48*47*46*45*44) = (43*42*6*5*4*3 / 49*48*47*46*45*44)

Vemos, que existen las mismas probabilidades de acertar los cuatro primeros números y acertar segundo, tercero, cuarto y quinto. La probabilidad de acertar cuatro números es la misma independientemente del orden de extracción al que correspondan los números acertados.
El número de posibilidades de fallar dos números viene dado por las posiciones que pueden tener los fallos (1-2, 1-3, 1-4, 1-5, 1-6, 2-3, 2-4, 2-5, 2-6, 3-4, 3-5, 3-6, 4-5, 4-6 , 5-6). Matemáticamente estas posibilidades se definen como las combinaciones de 6 elementos tomadas de 2 en 2. C⁶₂ = 6*5 / 2*1 = 15.
La probabilidad total de obtener cuatro aciertos es quince veces la probabilidad de obtener cuatro aciertos aciertos fallando en dos posiciones concretas:
En resumen:

(43*42*6*5*4*3*15 / 49*48*47*46*45*44) = 1 entre 1032,40

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Probabilidad de acertar 5
Probabilidad de acertar 3

Lotería primitiva. Probabilidad de acertar 5 y el complementario.

El número complementario, da la oportunidad de incrementar el premio a los acertantes de 5. Podría verse como una consolación para quienes han tenido cinco aciertos pero no han sacado seis. Una oportunidad más de acertar un sexto número. En cualquier caso, esa visión sería la de un pesimista, porque ya hemos visto que no es fácil acertar cinco.

Partimos de la probabilidad de acertar cinco números, (6*5*4*3*2*43*6) / (49*48*47*46*45*44). En el sorteo, se habrán sacado ya seis números, con lo que en el bombo quedan 43 números por sacar. En el boleto hay marcados cinco números (los aciertos) y queda uno sin asignar.
Se saca el número complementario. La probabilidad de que coincida con el número que tenemos pendiente en el boleto, es de 1 / 43.

La probabilidad de acertar cinco y el complementario, es entonces de ( (6*5*4*3*2*43*6) / (49*48*47*46*45*44) ) * (1 / 43) = (6*5*4*3*2*43*6) / (49*48*47*46*45*44*43) = 1 entre 2330636

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Probabilidad de acertar 5

Lotería primitiva. Probabilidad de acertar 5 números.

¿Cómo podemos acertar cinco números en la primitiva? Acertando todos menos el primero, o bien acertando todos menos el segundo, o todos menos el tercero, o todos menos el cuarto, o todos menos el quinto, o todos menos el sexto.
En resumen: para tener cinco aciertos en la primitiva, tenemos que acertar todos los números menos uno, y hay seis formas de no acertar un número.
Vamos a analizar cómo se pueden acertar todos los números menos el quinto y cómo se pueden acertar todos los números menos el sexto.

Acertar todos los números menos el quinto.
Según vimos en el desarrollo de la probabilidad de acertar seis números a la primitiva, la probabilidad de acertar los cuatro primeros es la siguiente:

(6/ 49) * (5 / 48) * (4 / 47) * (3 / 46) = (6*5*4*3) / (49*48*47*46)

Cuando se saca el quinto número, quedan dos números en el boleto y 45 bolas en el bombo. La probabilidad de no acertar el quinto número es igual a 43 / 45
De momento llegamos a que la probabilidad de acertar los cuatro primeros números y fallar el quinto es

(6/ 49) * (5 / 48) * (4 / 47) * (3 / 46) * (43/45) = (6*5*4*3*43) / (49*48*47*46*45)

Nos queda, acertar el sexto número.
Cuando se saca el sexto número, nos quedan dos números sin marcar en el boleto (los mismos que había antes d sacar el quinto número), y 44 bolas en el bombo. La probabilidad de acertar el sexto es la probabilidad de que la bola seleccionada tenga uno de los dos números: 2 / 44
La probabilidad de acertar todos los números menos el quinto, queda entonces

(6/ 49) * (5 / 48) * (4 / 47) * (3 / 46) * (43/45) * (2/44) = (6*5*4*3*2*43) / (49*48*47*46*45*44)

Acertar todos los números menos el sexto.
Según vimos en el desarrollo de la probabilidad de acertar seis números a la primitiva, la probabilidad de acertar los cinco primeros números es

(6/ 49) * (5 / 48) * (4 / 47) * (3 / 46) * (2 / 45) = (6*5*4*3*2) / (49*48*47*46*45)

Cuando se saca el sexto número, quedan un número en el boleto y 44 bolas en el bombo. La probabilidad de no acertar el sexto número es igual a 43 / 44
De este modo, la probabilidad de acertar los cinco primeros números y fallar el sexto es:

(6/ 49) * (5 / 48) * (4 / 47) * (3 / 46) * (2 / 45) * (43 / 44) = (6*5*4*3*2*43) / (49*48*47*46*45*44)

Vemos, que existen las mismas probabilidades de acertar todos los números menos el quinto y acertar todos los números menos el sexto. Se puede verificar que la probabilidad de acertar todos los números menos uno es la misma, independientemente de cuál sea el número que no se acierte. Existen seis posibles formas de fallar en un sólo número (fallar el primero, fallar el segundo, fallar el tercero, fallar el cuarto, fallar el quinto y fallar el sexto), de modo que la probabilidad total de obtener cinco aciertos es seis veces la probabilidad de obtener cinco aciertos fallando en una posición concreta.
En resumen:

(6/ 49) * (5 / 48) * (4 / 47) * (3 / 46) * (2 / 45) * (43 / 44) * 6 = (6*5*4*3*2*43*6) / (49*48*47*46*45*44) = 1 entre 54200,84

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Lotería primitiva. Probabilidad de acertar 6 números.

Matemáticamente, la probabilidad de que se acierten los seis números de la primitiva, es un problema simple de combinatoria. El número de posibilidades distintas a la hora de tomar seis números de un bombo de cuarenta y nueve, sin tener en cuenta el orden se define con la fórmula de Combinaciones de 49 elementos tomados de 6 en 6.

El desarrollo matemático de esta fórmula es:

C₄₉⁶ = 49! / ( 6! * (49-6)! ) =
49 * 48 * 47 * 46 * 45 * 44 / ( 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

Esto puede explicarse desarrollando paso a paso las posibilidades de acertar cada uno de los números del bombo.
Queremos saber qué probabilidades tenemos de acertar los seis números que se seleccionan de entre los cuarenta y nueve del bombo. Acertar seis números supone acertar el primero, el segundo, el tercero, el cuarto, el quinto y el sexto número que se seleccionen.

Primer número.
Al principio del sorteo, en el bombo hay 49 números. En el boleto tenemos seleccionados seis. Sale un número del bombo. Tenemos seis probabilidades (tantas como números seleccionados) entre 49 (tantas como bolas hay en el bombo) de acertar.

Probabilidad de acertar el primer número: 6 / 49

Segundo número.
Si hemos acertado el primer número, en nuestro boleto quedan cinco números sin asignar. En el bombo, quedan 48 bolas, puesto que hemos sacado ya la primera. Sale la segunda bola del bombo. En este caso, tenemos cinco probabilidades entre 48 de acertar el segundo número.

Probabilidad de acertar el segundo número habiendo acertado el primero: 5 / 48
Probabilidad de acertar los dos primeros números: (6/ 49) * (5 / 48) = (6*5) / (49*48)

Tercer número.
Si hemos acertado los dos primeros números, en nuestro boleto quedan cuatro números sin asignar. En el bombo, quedan 47 bolas. Cuando sale la tercera bola del bombo, tenemos cuatro probabilidades entre 47 de acertar el tercer número.

Probabilidad de acertar el tercer número habiendo acertado los dos primeros: 4 / 47
Probabilidad de acertar los tres primeros números: (6/ 49) * (5 / 48) * (4 / 47) = (6*5*4) / (49*48*47)

Habiendo visto el proceso para calcular la probabilidad de acertar los tres primeros números, los siguientes son fáciles de calcular.

Cuarto número.
Si hemos acertado los tres primeros números, en nuestro boleto quedan tres números sin asignar. En el bombo, quedan 46 bolas. Cuando sale la cuarta bola del bombo, tenemos tres probabilidades entre 46 de acertar el cuarto número.

Probabilidad de acertar el cuarto número habiendo acertado los tres primeros: 3 / 46
Probabilidad de acertar los cuatro primeros números: (6/ 49) * (5 / 48) * (4 / 47) * (3 / 46) = (6*5*4*3) / (49*48*47*46)

Quinto número.
Habiendo acertado los cuatro primeros números, en nuestro boleto quedan dos números sin asignar. En el bombo, quedan 45 bolas. Cuando sale la quinta bola del bombo, tenemos dos probabilidades entre 45 de acertar el quinto número.

Probabilidad de acertar el quinto número habiendo acertado los cuatro primeros: 2 / 45
Probabilidad de acertar los cinco primeros números: (6/ 49) * (5 / 48) * (4 / 47) * (3 / 46) * (2 / 45) = (6*5*4*3*2) / (49*48*47*46*45)

Sexto número.
Si hemos acertado los cinco primeros números, en nuestro boleto quedará únicamente un número sin asignar de los seis iniciales. En el bombo, quedan 44 bolas. Cuando sale la sexta bola del bombo, tenemos una probabilidad entre 44 de que coincida con nuestro número.

Probabilidad de acertar el sexto número habiendo acertado los cinco primeros: 1 / 44
Probabilidad de acertar los seis números de la primitiva: (6/ 49) * (5 / 48) * (4 / 47) * (3 / 46) * (2 / 45) * (1 / 44) = (6*5*4*3*2*1) / (49*48*47*46*45*44) = 1 entre 13983816

El reintegro.
Una vez acertados seis números, tendrán premio de categoría especial los boletos en los que además coincida el reintegro. Es decir: además de los seis números ya desarrollados, el reintegro, que es un número entre el 0 y el 9, debe coincidir. La probabilidad de acertar 6+R es entonces la probabilidad de acertar 6 junto con la probabilidad de acertar el reintegro.

Probabilidad de acertar seis: una entre 13983816.
Probabilidad de acertar el reintegro: una entre 10.
Probabilidad de acertar seis y el reintegro: una entre 13983816 * 10 = 1 entre 139.838.160

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