Lotería primitiva. Probabilidad de acertar 6 números.

Matemáticamente, la probabilidad de que se acierten los seis números de la primitiva, es un problema simple de combinatoria. El número de posibilidades distintas a la hora de tomar seis números de un bombo de cuarenta y nueve, sin tener en cuenta el orden se define con la fórmula de Combinaciones de 49 elementos tomados de 6 en 6.

El desarrollo matemático de esta fórmula es:

C₄₉⁶ = 49! / ( 6! * (49-6)! ) =
49 * 48 * 47 * 46 * 45 * 44 / ( 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

Esto puede explicarse desarrollando paso a paso las posibilidades de acertar cada uno de los números del bombo.
Queremos saber qué probabilidades tenemos de acertar los seis números que se seleccionan de entre los cuarenta y nueve del bombo. Acertar seis números supone acertar el primero, el segundo, el tercero, el cuarto, el quinto y el sexto número que se seleccionen.

Primer número.
Al principio del sorteo, en el bombo hay 49 números. En el boleto tenemos seleccionados seis. Sale un número del bombo. Tenemos seis probabilidades (tantas como números seleccionados) entre 49 (tantas como bolas hay en el bombo) de acertar.

Probabilidad de acertar el primer número: 6 / 49

Segundo número.
Si hemos acertado el primer número, en nuestro boleto quedan cinco números sin asignar. En el bombo, quedan 48 bolas, puesto que hemos sacado ya la primera. Sale la segunda bola del bombo. En este caso, tenemos cinco probabilidades entre 48 de acertar el segundo número.

Probabilidad de acertar el segundo número habiendo acertado el primero: 5 / 48
Probabilidad de acertar los dos primeros números: (6/ 49) * (5 / 48) = (6*5) / (49*48)

Tercer número.
Si hemos acertado los dos primeros números, en nuestro boleto quedan cuatro números sin asignar. En el bombo, quedan 47 bolas. Cuando sale la tercera bola del bombo, tenemos cuatro probabilidades entre 47 de acertar el tercer número.

Probabilidad de acertar el tercer número habiendo acertado los dos primeros: 4 / 47
Probabilidad de acertar los tres primeros números: (6/ 49) * (5 / 48) * (4 / 47) = (6*5*4) / (49*48*47)

Habiendo visto el proceso para calcular la probabilidad de acertar los tres primeros números, los siguientes son fáciles de calcular.

Cuarto número.
Si hemos acertado los tres primeros números, en nuestro boleto quedan tres números sin asignar. En el bombo, quedan 46 bolas. Cuando sale la cuarta bola del bombo, tenemos tres probabilidades entre 46 de acertar el cuarto número.

Probabilidad de acertar el cuarto número habiendo acertado los tres primeros: 3 / 46
Probabilidad de acertar los cuatro primeros números: (6/ 49) * (5 / 48) * (4 / 47) * (3 / 46) = (6*5*4*3) / (49*48*47*46)

Quinto número.
Habiendo acertado los cuatro primeros números, en nuestro boleto quedan dos números sin asignar. En el bombo, quedan 45 bolas. Cuando sale la quinta bola del bombo, tenemos dos probabilidades entre 45 de acertar el quinto número.

Probabilidad de acertar el quinto número habiendo acertado los cuatro primeros: 2 / 45
Probabilidad de acertar los cinco primeros números: (6/ 49) * (5 / 48) * (4 / 47) * (3 / 46) * (2 / 45) = (6*5*4*3*2) / (49*48*47*46*45)

Sexto número.
Si hemos acertado los cinco primeros números, en nuestro boleto quedará únicamente un número sin asignar de los seis iniciales. En el bombo, quedan 44 bolas. Cuando sale la sexta bola del bombo, tenemos una probabilidad entre 44 de que coincida con nuestro número.

Probabilidad de acertar el sexto número habiendo acertado los cinco primeros: 1 / 44
Probabilidad de acertar los seis números de la primitiva: (6/ 49) * (5 / 48) * (4 / 47) * (3 / 46) * (2 / 45) * (1 / 44) = (6*5*4*3*2*1) / (49*48*47*46*45*44) = 1 entre 13983816

El reintegro.
Una vez acertados seis números, tendrán premio de categoría especial los boletos en los que además coincida el reintegro. Es decir: además de los seis números ya desarrollados, el reintegro, que es un número entre el 0 y el 9, debe coincidir. La probabilidad de acertar 6+R es entonces la probabilidad de acertar 6 junto con la probabilidad de acertar el reintegro.

Probabilidad de acertar seis: una entre 13983816.
Probabilidad de acertar el reintegro: una entre 10.
Probabilidad de acertar seis y el reintegro: una entre 13983816 * 10 = 1 entre 139.838.160

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