Lotería primitiva. Probabilidad de acertar 5 números.

¿Cómo podemos acertar cinco números en la primitiva? Acertando todos menos el primero, o bien acertando todos menos el segundo, o todos menos el tercero, o todos menos el cuarto, o todos menos el quinto, o todos menos el sexto.
En resumen: para tener cinco aciertos en la primitiva, tenemos que acertar todos los números menos uno, y hay seis formas de no acertar un número.
Vamos a analizar cómo se pueden acertar todos los números menos el quinto y cómo se pueden acertar todos los números menos el sexto.

Acertar todos los números menos el quinto.
Según vimos en el desarrollo de la probabilidad de acertar seis números a la primitiva, la probabilidad de acertar los cuatro primeros es la siguiente:

(6/ 49) * (5 / 48) * (4 / 47) * (3 / 46) = (6*5*4*3) / (49*48*47*46)

Cuando se saca el quinto número, quedan dos números en el boleto y 45 bolas en el bombo. La probabilidad de no acertar el quinto número es igual a 43 / 45
De momento llegamos a que la probabilidad de acertar los cuatro primeros números y fallar el quinto es

(6/ 49) * (5 / 48) * (4 / 47) * (3 / 46) * (43/45) = (6*5*4*3*43) / (49*48*47*46*45)

Nos queda, acertar el sexto número.
Cuando se saca el sexto número, nos quedan dos números sin marcar en el boleto (los mismos que había antes d sacar el quinto número), y 44 bolas en el bombo. La probabilidad de acertar el sexto es la probabilidad de que la bola seleccionada tenga uno de los dos números: 2 / 44
La probabilidad de acertar todos los números menos el quinto, queda entonces

(6/ 49) * (5 / 48) * (4 / 47) * (3 / 46) * (43/45) * (2/44) = (6*5*4*3*2*43) / (49*48*47*46*45*44)

Acertar todos los números menos el sexto.
Según vimos en el desarrollo de la probabilidad de acertar seis números a la primitiva, la probabilidad de acertar los cinco primeros números es

(6/ 49) * (5 / 48) * (4 / 47) * (3 / 46) * (2 / 45) = (6*5*4*3*2) / (49*48*47*46*45)

Cuando se saca el sexto número, quedan un número en el boleto y 44 bolas en el bombo. La probabilidad de no acertar el sexto número es igual a 43 / 44
De este modo, la probabilidad de acertar los cinco primeros números y fallar el sexto es:

(6/ 49) * (5 / 48) * (4 / 47) * (3 / 46) * (2 / 45) * (43 / 44) = (6*5*4*3*2*43) / (49*48*47*46*45*44)

Vemos, que existen las mismas probabilidades de acertar todos los números menos el quinto y acertar todos los números menos el sexto. Se puede verificar que la probabilidad de acertar todos los números menos uno es la misma, independientemente de cuál sea el número que no se acierte. Existen seis posibles formas de fallar en un sólo número (fallar el primero, fallar el segundo, fallar el tercero, fallar el cuarto, fallar el quinto y fallar el sexto), de modo que la probabilidad total de obtener cinco aciertos es seis veces la probabilidad de obtener cinco aciertos fallando en una posición concreta.
En resumen:

(6/ 49) * (5 / 48) * (4 / 47) * (3 / 46) * (2 / 45) * (43 / 44) * 6 = (6*5*4*3*2*43*6) / (49*48*47*46*45*44) = 1 entre 54200,84

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