Probabilidad de acertar tres números en la primitiva.

Según hemos visto en los desarrollos de las probabilidades de acertar 5 números y acertar 4 números, la probabilidad de acertar tres números es igual a la probabilidad de acertar tres números en una posición concreta, multiplicada por el número de posiciones distintas en las que se pueden encontrar estos tres números.
Vamos a ver la probabilidad de acertar los tres primeros números y fallar los tres últimos.

Probabilidad de acertar los tres primeros números y fallar los otros tres.
Tres primeros números. Según se vio en la probabilidad de acertar cuatro números, la probabilidad de acertar los tres primeros números es

(6*5*4 / 49*48*47)

Cuarto número. En el bombo quedan 46 bolas. Como hemos acertado tres números del boleto, quedan 3 sin marcar. La probabilidad de fallar la cuarta bola es la probabilidad de que el número extraido del bombo no sea ninguno de los tres que quedan en el boleto: 43/46. La probabilidad combinada de acertar las tres primeras bolas y fallar la cuarta, queda

(43/46) * (6*5*4 / 49*48*47) = (6*5*4*43 / 49*48*47*46)

Quinto número. En el bombo quedan 45 bolas. Como hemos acertado tres números del boleto, quedan 3 sin marcar. La probabilidad de que el número extraido del bombo no sea ninguno de los tres que quedan en el boleto es de: 42/45. La probabilidad combinada de acertar las tres primeras bolas y fallar cuarta y quinta, queda

(42/45) * (6*5*4*43 / 49*48*47*46) = (6*5*4*43*42 / 49*48*47*46*45)

Sexto número. En el bombo quedan 44 bolas. Como hemos acertado tres números del boleto, quedan 3 sin marcar. La probabilidad de fallar la sexta bola es de 41/44. La probabilidad combinada de acertar las tres primeras bolas y fallar las tres últimas,

(41/44) * (6*5*4*43*42 / 49*48*47*46*45) = (6*5*4*43*42*41 / 49*48*47*46*45*44)

El número de posibilidades de acertar tres números viene dado por las posiciones que pueden tener estos triples aciertos (1-2-3, 1-2-4, 1-2-5, ... , 3-4-6, 3-5-6, 4-5-6). Matemáticamente estas posibilidades se definen como las combinaciones de 6 elementos tomados de 3 en 3.

C⁶₃ = 6*5*4 / 3*2*1 = 20

La probabilidad total de obtener tres aciertos es veinte veces veces la probabilidad de obtener tres aciertos en una posición concreta:

En resumen:

(6*5*4*43*42*41*20 / 49*48*47*46*45*44) = 1 entre 56,66

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