Lotería primitiva. Probabilidad de acertar 4 números.

Acertar cuatro números de la primitiva es igual que fallar dos números de los seis. Estos dos fallos pueden producirse en distintas posiciones: primera y segunda, primera y tercera, primera y cuarta, ... , segunda y tercera, ..., cuarta y sexta, quinta y sexta.

Vamos a ver dos de las posibilidades: fallar el primero y el sexto número, acertando los intermedios, y fallar los dos últimos números.

Probabilidad de acertar 2º, 3º, 4º y 5º número, fallando el primero y el sexto.
Partimos de un bombo con 49 bolas numeradas y un boleto con seis números pronosticados.
Primer número. Al sacar la primera bola del bombo, existen 6 posibilidades entre 49 de que corresponda a uno de los números del boleto. O lo que es lo mismo, existen 43 posibilidades entre 49 de que no corresponda. La probabilidad de fallo es de 43 / 49.
Segundo número. Habiendo fallado el primer número, quedan 48 bolas en el bombo y 6 números en el boleto. La probabilidad de que la segunda bola corresponda con un número en el boleto es de 6/48. La probabilidad de fallar el primer número y acertar el segundo es de

(43/49) * (6/48) = (43*6 / 49*48)

Tercer número. En el bombo quedan 47 bolas. Como hemos acertado un número del boleto, quedan 5 sin marcar. La probabilidad de que la tercera bola corresponda con un número en el boleto es de 5/47. La probabilidad de fallar el primer número y acertar segundo y tercero, queda

(5/47) * (43*6 / 49*48) = (43*6*5 / 49*48*47)

Cuarto número. En el bombo quedan 46 bolas. Como hemos acertado dos números del boleto, quedan 4 sin marcar. La probabilidad de acertar la cuarta bola es 4/46. La probabilidad combinada de fallar el primer número y acertar segundo, tercero y cuarto, queda

(4/46) * (43*6*5 / 49*48*47) = (43*6*5*4 / 49*48*47*46)

Quinto número. En el bombo quedan 45 bolas. Hemos acertado tres números del boleto, por lo que quedan 3 sin marcar. La probabilidad de acertar la quinta bola es de 3/45. La probabilidad combinada de fallar el primer número y acertar segundo, tercero, cuarto y quinto, queda

(3/45) * (43*6*5*4 / 49*48*47*46) = (43*6*5*4*3 / 49*48*47*46*45)

Sexto número. En el bombo quedan 44 bolas. Como hemos acertado cuatro números del boleto, quedan 2 sin marcar. En este caso, queremos ver la probabilidad de no acertar la última bola. Esta probabilidad viene dada por las bolas que quedan en el bombo que no corresponden a las dos que quedan en el boleto: 42/44. La probabilidad combinada de fallar el primer y sexto números y acertar los cuatro intermedios, queda

(42/44) * (43*6*5*4*3 / 49*48*47*46*45) = (43*6*5*4*3*42 / 49*48*47*46*45*44) = (43*42*6*5*4*3 / 49*48*47*46*45*44)

Probabilidad de acertar los cuatro primeros números, fallando los dos últimos.
Partimos de un bombo con 49 bolas numeradas y un boleto con seis números pronosticados.
Primer número. Al sacar la primera bola del bombo, existen 6 posibilidades entre 49 de que corresponda a uno de los números del boleto. La probabilidad de acierto es de

6 / 49

Segundo número. Habiendo acertado el primer número, quedan 48 bolas en el bombo y 5 números sin marcar en el boleto. La probabilidad de que la segunda bola corresponda con un número en el boleto es de 5/48. La probabilidad de acertar los dos primeros números es de

(6/49) * (5/48) = (6*5 / 49*48)

Tercer número. En el bombo quedan 47 bolas. Como hemos acertado dos números del boleto, quedan 4 sin marcar. La probabilidad de que la tercera bola corresponda con un número en el boleto es de 4/47. La probabilidad de acertar los tres primeros números queda

(4/47) * (6*5 / 49*48) = (6*5*4 / 49*48*47)

Cuarto número. En el bombo quedan 46 bolas. Como hemos acertado tres números del boleto, quedan 3 sin marcar. La probabilidad de acertar la cuarta bola es 3/46. La probabilidad combinada acertar las cuatro primeras bolas del sorteo, queda

(3/46) * (6*5*4 / 49*48*47). = (6*5*4*3 / 49*48*47*46)

Quinto número. En el bombo quedan 45 bolas. En el boleto, quedan 2 números sin marcar. Queremos saber la probabilidad de fallar la quinta bola, que es la probabilidad de que el número extraido del bombo no sea ninguno de los dos que quedan en el boleto: 43/45. La probabilidad combinada acertar las cuatro primeras bolas del sorteo y fallar la quinta, queda (43/45) * (6*5*4*3 / 49*48*47*46) = (6*5*4*3*43 / 49*48*47*46*45).

Sexto número. En el bombo quedan 44 bolas. En el boleto, siguen quedando 2 números sin marcar. La probabilidad de fallar la sexta bola es 42/44. La probabilidad combinada acertar las cuatro primeras bolas del sorteo y fallar las dos últimas, queda

(42/44) * (6*5*4*3*43 / 49*48*47*46*45) = (6*5*4*3*43*42 / 49*48*47*46*45*44) = (43*42*6*5*4*3 / 49*48*47*46*45*44)

Vemos, que existen las mismas probabilidades de acertar los cuatro primeros números y acertar segundo, tercero, cuarto y quinto. La probabilidad de acertar cuatro números es la misma independientemente del orden de extracción al que correspondan los números acertados.
El número de posibilidades de fallar dos números viene dado por las posiciones que pueden tener los fallos (1-2, 1-3, 1-4, 1-5, 1-6, 2-3, 2-4, 2-5, 2-6, 3-4, 3-5, 3-6, 4-5, 4-6 , 5-6). Matemáticamente estas posibilidades se definen como las combinaciones de 6 elementos tomadas de 2 en 2. C⁶₂ = 6*5 / 2*1 = 15.
La probabilidad total de obtener cuatro aciertos es quince veces la probabilidad de obtener cuatro aciertos aciertos fallando en dos posiciones concretas:
En resumen:

(43*42*6*5*4*3*15 / 49*48*47*46*45*44) = 1 entre 1032,40

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