Esperanza matemática, ley de grandes números y los juegos de azar.

La ley de los grandes números y la esperanza matemática son conceptos que se utilizan en áreas técnicas como la estadística o los seguros.

El funcionamiento de las compañías de seguros se basa en la ley de los grandes números.
Supongamos por ejemplo que una compañía de seguros de coche tiene calculado que, en un año, 2000 de cada 10000 coches asegurados, tienen un accidente con un coste medio de reparación de 700 euros.
Si un día hay 10 nuevos coches que quieren asegurarse, la compañía estimará que 2 de ellos van a tener un accidente en el año y va a tener que pagar 2x700=1400 euros. Para poder hacer frente a los previsibles gastos futuros, la compañía exigirá a los 10 nuevos coches una cuota anual de al menos 140 euros por coche, para que entre todos paguen 1400 euros al año y cubran el gasto esperado.
Igual los 10 coches asegurados un día concreto salen problemáticos y cuestan a la compañía más de 1400 euros. Pero si los calculos de la aseguradora son correctos, entre todos los coches que asegura al año habrá un equilibrio entre los gastos por siniestralidad esperados y los gastos por siniestralidad reales. 

Al usarse la ley de los grandes números en áreas técnicas que mueven mucho dinero, se ha estudiado en profundidad y se ha realizado un un desarrollo matemático de la ley y sus implicaciones. Este desarrollo matemático permite extraer algunas conclusiones útiles a la hora de plantearse estrategias de juego:

1. Esperanza negativa en los juegos de azar.

Un juego en el que la esperanza sea 0, es un juego justo. Un juego en el que la esperanza sea menor que cero, es un juego en el que es más probable perder que ganar.
Los juegos de azar organizados en general, y los juegos de Loterías y Apuestas del Estado y de la ONCE en particular, tienen una esperanza matemática negativa para el premio menos el coste de la apuesta. 

Cada juego de azar se crea con la idea de ganar un dinero para el organizador. Para conseguir esto, es necesario que se reparta en premios menos que lo que se recauda.

• En juegos como la primitiva o la bonoloto, esto está claro porque el importe de los premios (50 al 70%) depende de la recaudación.
• En otros juegos, como la Lotería Nacional, en que los premios son fijos, podría darse el caso de que en un sorteo el organizador pierda dinero en un sorteo (si vende pocas participaciones y una de estas es la premiada). Pero a la larga, o vende todas las participaciones o bien habrá sorteos con pocas participaciones vendidas pero sin ganador. 

El que un juego tenga una esperanza negativa no quiere decir que todos los jugadores vayan a perder con el juego.

Por ejemplo, en el cupón diario, con una apuesta de 1,50 euros, de cada 100.000 jugadores, habrá 17998 que recuperen 1,50 euros quedándose como estaban y 1002 que ganen más de lo que gastaron. La idea con la que se juega al cupón diario es ser uno de esos 1002 de cada 100.000 que ganan más de 1,50 euros. De hecho, la idea es ser ese 1 de cada 100.000 que gana 35.000 euros.

2. Los métodos de selección de varias apuestas individuales no sirven para ganar dinero.

La esperanza matemática E(A+B) de dos apuestas A y B, es igual a E(A)+E(B).
Esto quiere decir, por ejemplo, que si una apuesta A tiene esperanza de premio negativa (al restar el coste de la misma) y una apuesta B tiene esperanza de premio negativa, entonces apostar a la vez a A y B va a seguir teniendo esperanza de premio negativa (la suma de dos negativos es un negativo mayor).

Si un décimo de lotería de jueves tiene un precio de 3 euros y su esperanza de premio es de 2,10-3,00=-0,90 euros (saldo negativo), si compramos dos décimos de lotería de jueves la esperanza de premio conjunta será 2,10-3+2,10-3=-1,80 euros. 

La consecuencia práctica de esto es que la acumulación de apuestas individuales que tienen esperanza negativa no puede utilizarse como método para ganar dinero de forma indefinida.

Supongamos un método de lotería que consiste en seleccionar con un criterio concreto, 20.000 de los 100.000 números de un sorteo.
Con este método podemos garantizar premios menores escogiendo distintas terminaciones.
También podemos conseguir el primer premio con más probabilidad 1/5 que si compramos un sólo cupón. Pero también vamos a gastar mucho más dinero.
Es posible usar este método un número reducido de veces y que tengamos suerte y en uno o dos sorteos seguidos tengamos el primer premio y ganemos dinero en total. Pero si se usa a la larga (por ejemplo en 50 sorteos), sólo conseguiremos el primer premio en aproximadamente la quinta parte de los mismos y perderemos dinero en conjunto.

3. La ley de los grandes números no sirve para compensar valores.

La ley de los grandes números trata del equilibrio a lo largo de un número alto de sorteos, pero no garantiza resultados en pruebas individuales.

Si tiramos una moneda a cara o cruz 10 veces y sale 8 veces cara y 2 veces cruz, la ley de los grandes números NO dice que el resultado 11 vaya a ser cruz porque hay que compensar.
Tampoco debe suponerse que porque haya salido cara más veces, este valor esté en racha y sea más probable que el resultado 11 sea cara.
La moneda no tiene memoria de las veces que ha salido cara y las veces que ha salido cruz y si no es una moneda sesgada, tiene tantas probabilidades en la tirada 11 de ser cara como de ser cruz. 

Las técnicas que se basan en contabilizar el número de veces que han salido valores previos son inútiles si se trata de sorteos con un resultado aleatorio.
Existen técnicas que contabilizan el número de veces que ha salido un número últimamente y proponen elegir los números que han salido menos, porque “a la larga” tienen que salir todos los números el mismo número de veces. También existen técnicas de “números calientes” que piensan que los números que están saliendo con más asiduidad tienen más probabilidad de salir.
Si el proceso de elección de los números no está sesgado, entonces todos los números tienen la misma probabilidad de salir en cada sorteo.

Por ejemplo, en la primitiva, cada una de las 49 bolas tiene una probabilidad de 6/49 de salir en un sorteo dado. Si el número 29 ha salido 7 veces en los últimos 10 sorteos y el número 30 no ha salido ninguna vez en los últimos 10 sorteos y las bolas de los dos números son iguales, entonces no podemos decir (si usamos un criterio matemático) que es fácil que salga el 29 porque está caliente ni que es más fácil que salga el 30 para compensar.

4. La ley de los grandes números sólo es aplicable a números muy altos de apuestas individuales.

Dado un juego de azar en que cada apuesta sencilla tiene la misma esperanza matemática, si un apostante realiza un número fijo de apuestas sencillas durante muchos sorteos, la media de ganancia en conjunto por apuesta será igual a la esperanza matemática.

En los Sorteos de Navidad de lotería nacional se reparte en premios el 70% de lo recaudado.
Si se hace una apuesta sencilla, por ejemplo comprar un décimo de 20 euros, el rango de resultados posibles va desde perder todo (ganar el 0% de lo apostado) a ganar el Gordo (ganar 2000000% de lo apostado).
Si se compran décimos de 1000 números distintos (20.000 euros en gasto), si no se tiene mucha suerte se conseguirán tan sólo unos reintegros y pedreas (ganar unos 2500 euros o el 12,5% de lo apostado). Con mucha suerte se ganaría primer, segundo y tercer premio, y muchos reintegros y pedreas (unos 590000 euros o el 2950% de lo apostado). 

Como vemos, al aumentar la apuesta se reduce el rango de ganancias o pérdidas probables, acercándose a la esperanza matemática. 

Si se repite la compra de 1000 números distintos durante muchos años, habrá años buenos y años malos, y en tendencia la suma de ingresos se irá acercando al 70%. 

Como estamos hablando de ley de grandes números, la tendencia puede no llegar a mostrarse en un conjunto moderado de sorteos (como los 50 ó 60 años que puede una persona jugar durante la vida al Sorteo de Navidad). Sí sería una tendencia visible en el caso de apostantes con mayor número de apuestas en más sorteos. Por ejemplo, una peña de bonoloto que apueste a miles de columnas por sorteo en 250 sorteos anuales durante 20 años, tenderá a ganar de media el 55% de lo apostado.

5. Jugar apuestas masivas a un juego con esperanza negativa y premio máximo no muy elevado, carece de sentido. 

Podemos intentar ver esto con un ejemplo.

La lotería nacional del jueves reparte el 70% de su recaudación en premios.
Como el décimo cuesta 3 euros, la esperanza de este juego es de -0,90€. Supongamos que jugamos a la lotería nacional del jueves 300 euros por semana durante 20 años. En ese período habremos apostado 300x52x20=312.000 euros.
Si con esos 312.000 euros (104.000 décimos) conseguimos ganar el premio especial al décimo (1.200.000 euros) al menos una vez, la apuesta habrá merecido la pena. Pero en otro caso, incluso ganando el primer premio en alguna ocasión y muchas veces premios inferiores, la inversión será deficitaria.
Si no existiese el premio especial al décimo, con la apuesta dada, teóricamente optaríamos a aproximadamente 165.000 euros en premios, incluyendo un primer premio, un segundo y 4 aproximaciones. Incluso ganando el primer premio cinco veces más de lo esperado estadísticamente, nos quedaríamos en 285.000 euros de ingreso para 312.000 de gasto. 

La mayor parte de los juegos como los cuponazos, sueldazos, lotería nacional, primitiva o euromillones, incluyen premios especiales que superan con claridad la apuesta máxima que puede realizar un inversor individual, por lo que el inversor puede ganar dinero a largo plazo si consigue ese premio especial.
Esto podría no cumplirse en el caso de apuestas sindicadas en las que cientos o miles de inversores se agrupan para realizar decenas de miles de apuestas por sorteo. Si los números elegidos en la apuesta sindicada se ajustan a las probabilidades del juego, podría darse el caso de peñas que ganen el euromillones o el eurojackpot varias veces y aún así pierdan dinero.

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