La ley de los grandes números.

Desviaciones respecto a la esperanza matemática en sorteos individuales.

Al analizar el concepto de esperanza matemática con un ejemplo, hemos considerado una serie de cupones. Para una serie de 100.000 cupones, ya conocemos de antemano el número de cupones que conseguirá un premio y los importes de cada uno de los premios a entregar.

Hay juegos en los que el número de boletos que conseguirán premio no está predeterminado, como la primitiva. En otros juegos, no es fijo el total de ventas de cupones en un período concreto (puede venderse un número en varias series y otros números quedarse sin vender en ninguna serie). En estos casos, el importe medio de los premios obtenido puede ser distinto de la esperanza matemática.

Supongamos, por ejemplo, que en un sorteo del cupón diario se pusiesen en venta seis series y sólo se consiguiesen vender los cupones del 00000 al 59999.
Si el primer premio ese día fuese el 73517, no habría ganadores del primer premio. Sí habría ganadores de premios menores, como el 53517, que ganaría 200 euros por cupón.
En ese sorteo, la ONCE habría ganado por la venta de 360.000 cupones (60.000 cupones por serie y 6 series) 540.000 euros. Habría pagado en premios sólo 81.720 euros, con un premio medio por cupón de 81720/360000 = 0,23 euros.
Si en cambio el primer premio ese día fuese el 33517, habría ganadores del todas las categorías. En ese sorteo, la ONCE habría ganado por la venta de 360.000 cupones (60.000 cupones por serie y 6 series) 540.000 euros. Habría pagado en premios 378.711 euros, con un premio medio por cupón de  378711/360000 = 1,05 euros. 

Esta desviación entre el valor real de los premios y la esperanza matemática de los mismos se produce a nivel de sorteos individuales.

La ley de los grandes números.
Si se realizan muchos sorteos, habrá algunos en los que el premio medio sea superior al teórico y otros en los que el premio medio sea inferior al teórico. Si el número de sorteos es suficientemente alto, se acercará cada vez más al valor teórico.

Por ejemplo, de acuerdo con esto, podemos prever que entre todos los sorteos del cupón diario realizados hasta hoy, el premio medio por cupón, será muy cercano al valor teórico de 0,72. 

Este acercamiento del valor medio de los resultados de una serie al valor teórico esperable en la serie se llama ley de los grandes números.

Podemos entender la idea de la ley de los grandes números considerando series de sorteos de una moneda a cara o cruz.  En teoría, al lanzar una moneda al aire tiene la misma probabilidad de caer por el lado de la cara que de caer por la cruz.
Si hacemos alguna prueba real, puede suceder que lancemos 4 veces la moneda y salga cara: 100% de cara y 0% de cruz.
Si seguimos tirando hasta tener 50 lanzamientos, probablemente se haya equilibrado algo el número de caras y cruces (por ejemplo, 34 caras y 16 cruces, 68% y 32% respectivamente).
Si llegamos a 500 tiradas, lo normal es que siga tendiendo a equilibrarse los resultados (por ejemplo, 272 caras y 238 cruces, 54,2% y 47,6%).

¿Por qué nos detenemos tanto a tratar la esperanza matemática y la ley de los grandes números en unas páginas de estrategias en juegos de azar? Porque estos conceptos se utilizan, a veces correctamente y a veces incorrectamente para analizar estrategias que ayuden a optimizar la posiblidad de ganar un premio en un sorteo de lotería.


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